复分析总结
1. 复函和极限
复数
设有理数的概念抽象自自然界，并由幂运算扩充为实数。
将实数单位的负值开根定义为虚部单位，构成复数。
- 共轭：实部相等虚部相反。
复平面：将复数映射至实虚变量构成的二维平面。
扩充的复平面：含无穷远点的复平面，记为z-。
复数不等式
- 复数和差的模小于等于模的和。
证明：
根据模和共轭的关系可证。也可用矢量的运算法则和三角形两边和大于第三边公理证明。
函数
映射：集合中元素的对应关系。单射表示一个元素只对应至一个元素。
函数：数集到数集的单射。
- 数列：定义域为整数集的函数。
注意实函可和无数个复函在实数集中有相同的映射关系，因此可以构建复函来分析实函。
极限
- 函数的在某点的极限：存在该点的去心邻域，映射至极限值任意小的邻域内。
自然常数
- 结算次数与利率乘积为1的复利，在利率趋于零趋于0时的极限。
证明：
自变量为正整数倒数时，多项式展开，可知单调有界，故收敛。用夹逼准则推广至正实数，用变量代换推广至实数。
2. 导数
- 函数在一点的导数：该点函数增量与自变量增量的比，在增量为零处的极限。
- 函数在一点解析：函数在该点及某邻域内可导。
实指数函数和幂函数的导数
- 以自然常数为底的实指数函数的导数等于自身。
证明：
\[\begin{align*} (e^x)' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{(x+\Delta x)}-e^x}{\Delta x}\\ &=e^x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\ e^{\Delta x}-1=t\Rightarrow &=e^x \lim_{t\to 0} \frac t{\ln(t+1)}\\ &=e^x \lim_{t\to 0} \frac1{\ln(t+1)^\frac1t}\\ &=e^x \end{align*}\]- 幂函数可换底为指数函数求导。
微分中值定理
- （内部可导的闭区间）两端实函数差之比等于中间某点的导数之比。
证明：
端点处等值则区间内存在零点，称为罗尔定理，可由极限存在不变号邻域的性质（保号性）证明。构造函数，使上式满足罗尔定理条件，可证。
洛必达(L’Hôpital)定理
- 实函极小值之比等于导数之比。
证明：
令所求点函数值为零，不影响极限，此时可用微分中值定理。
\[\lim_{x\to x_0}\frac {f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]实函的泰勒(Talor)展开定理
- 实函可展开为多项式，余项为高阶无穷小。
证明：
余项的各阶导数为0，反复使用洛必达定理，结果为无穷小。
欧拉(Euler)公式
- 复指数实部为幂的余弦，虚部为正弦。
证明：
\[\begin{align*} e^{ix}&=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\dots+\frac{(ix)^n}{n!}\\ &=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\dots)\\ &=\cos x+i\sin x \end{align*}\]复数的指数表示
- 复数可表示为模和辐角形式。
证明：
通过欧拉公式可证。
\[\begin{align*} z&=\sqrt {x^2+y^2}e^{i\tan^{-1}\frac yx}\\ &=\sqrt{x^2+y^2}(\cos(\tan^{-1}\frac yx)+\sin(\tan^{-1}\frac yx)i)\\ &=x+yi \end{align*}\]柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)公式
- 解析函数实虚部可互求。
证明：
\[\begin{align*} \lim_{\Delta x\to 0,\Delta y=0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}&=\lim_{\Delta x=0,\Delta y\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\\ \frac{u(x_0+\Delta x, y_0)+iv(x_0+\Delta x,y_0)}{\Delta x}&=\frac{u(x_0, y_0+\Delta y)+iv(x_0,y_0+\Delta y)}{i\Delta y}\\ \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}&=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}\end{align*}\]调和函数和解析函数
- 拉普拉斯方程：
调和函数：满足拉普拉斯方程的二元实函。
解析函数实虚部均为调和函数。
证明：
通过C-R公式可证。
\[\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 u}{\partial^2 y}=\frac{\partial^2 v}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 v}{\partial x\partial y}=0\]3. 微分
函数在一点为无穷小：该点极限为0.
高阶无穷小：两无穷小比值为无穷小，则分子为高阶无穷小。
- 函数在一点的微分：该点附近函数增量与自变量增量的一阶线性等价关系。
可微的充要条件
- 函数可微等价于可导。
证明：
若函数可导，则增量比有极限，故余项是高阶无穷小。若可微，则增量比的极限为定值。
解析的充要条件
- 函数解析等价于实虚部可微且满足C-R公式。
证明：
必要性在C-R公式中已证，下证充分性。将函数增量表示为实虚部函数的微分，再套用C-R公式，得到函数的微分式。
\[\begin{align*} df&=du+idv\\ &=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+i\frac{\partial v}{\partial x}dx+i\frac{\partial v}{\partial y}dy+o(|dz|)\\ &=\frac{\partial v}{\partial y}dx+i^2\frac{\partial v}{\partial x}dy+i\frac{\partial v}{\partial x}dx+i\frac{\partial v}{\partial y}dy+o(|dz|)\\ &=(\frac{\partial v}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial x})(dx+idy)+o(|dz|)\\ &=(\frac{\partial v}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial x})(dz)+o(|dz|)\\ \end{align*}\]这意味着C-R公式可构建给定实部的解析函。
指数函数和幂函数的导数
- 指数函数的导数为自身。
证明：
根据欧拉公式和解析的充要条件可证。
\[\begin{align*}e^z&=e^x\cos y+ie^x\sin y\\ \frac{\partial(e^x\cos y)}{\partial x}&=\frac{\partial(e^x\sin y)}{\partial y}, \frac{\partial(e^x\cos y)}{\partial y}=-\frac{\partial(e^x\sin y)}{\partial x}\\ \Rightarrow (e^z)'&=\frac{\partial(e^x\cos y)}{\partial y}+i\frac{\partial(e^x\sin y)}{\partial x}=e^z\end{align*}\]- 幂函数可换底为指数函数求导。
4. 积分
曲线的内侧：前进方向的左侧。正向：逆时针方向。
函数在一有向曲线的积分：在曲线上做分割，所有弧段自变量增量乘以弧内任一点的函数值的和在弧长趋于0时的极限。
二元实函对弧长的曲线积分：弧长与函数值乘积的和的极限，等于因、自变量连线构成曲面的面积。
二元实函对坐标的曲线积分：自变量之差与函数值乘积的和的极限，等于对弧长积分在坐标轴投影的曲面面积。
微积分基本定理
- 导数的积分等于原函数的变化量。
证明：
增量比乘以自变量增量，在增量趋于零时，等于因变量增量。因变量增量的和等于变化量。
格林(Green)公式
- 二元实函对坐标的围线积分等于偏导在内部的二重积分。
证明：
对单连通域，在积分变量上取一小段，切出积分区域的一片。上下侧自变量增量符号相反，则曲线积分值为所有段上下侧之差的和。由微积分基本定理，上下侧之差等于导数的积分。对多连通域，可切割为单连通域，割线上积分反向相消。
柯西(Cauchy)积分定理
闭路：有向光滑闭曲线。
复合闭路：内侧构成一个连通域的多条闭路。
柯西积分定理：解析域内复合闭路积分为零。
证明：
\[\begin{align}\oint fdz&=\oint(u+iv)(dx+idy)\\ &=\oint (udx-vdy)+i(vdx+udy)\\ &=\iint-(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})+i(-\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial x})dxdy\\&=0\end{align}\]其中(6)为格林公式，(7)为C-R公式。
柯西积分公式
- 解析域内函数值可由围线上函数值除以自变量增量在围线上的积分算得。
证明：
被积函数在所求点去心邻域内解析，构建复合闭路。根据柯西积分定理和复数的指数表示，令围线逼近所求点，不改变积分值。则
\[\begin{align*} \frac1{2\pi i}\oint_c \frac{f(z)}{z-z_0}dz&=\frac1{2\pi i}\oint_{R\to 0} \frac{f(z)}{z-z_0}dz\\ &=f(z_0)\frac1{2\pi i}\oint \frac1{z-z_0}dz\\ &=f(z_0)\frac1{2\pi i}\int_0^{2\pi}\frac1{z-z_0}i(z-z_0)d\theta\\ &=f(z_0) \end{align*}\]- 解析函数有任意阶导数且可由围线积分算得。
证明：
使围线包含两点，积分值之差即为函数增量。
\[\begin{align*} f(z_0+\Delta z)+f(z_0)&=\frac 1{2\pi i}\oint f(z)(\frac 1{z-(z_0+\Delta z)}-\frac1{z-z_0})dz\\ &=\frac {\Delta z}{2\pi i}\oint \frac{f(z)dz}{(z-z_0-\Delta z)(z-z_0)}\\ \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)+f(z_0)}{\Delta z}&=\frac 1{2\pi i}\oint \frac{f(z)dz}{(z-z_0)^2} \end{align*}\]同理递推即可。也可类比1/(1-x)求导过程。
平均值公式
- 解析函数圆心值等于在外部圆周上的均值。
证明：
由柯西积分公式可证。
柯西不等式
- 解析函数导数的模小于函数值在外部任一圆上的上界除以半径。
证明：
根据柯西积分公式和复数不等式可证。此式也可推广至高阶导数。
\[|f'(z_0)|=|\frac1{2\pi i}\oint\frac{f(z)dz}{(z-z_0)^2}| \leq \frac1{2\pi}\oint\frac{|f(z)|}{R^2}d|z| \leq \frac MR\]刘维尔(Liouville)定理
整函数：在扩充的复平面内解析的函数。
有上界的整函数恒为常数。
证明：
由柯西不等式，令半径趋于无穷，则导数为零。
代数学基本定理
- 多项式在扩充的复平面上必有根。
证明：
若无根，则多项式的倒数解析且有界，由刘维尔定理知多项式恒为常数，矛盾。
多项式除法
- 多项式可被同阶或低阶的多项式除为商和余式。
证明:
取最高次项相除，被除式减商乘余式得余项。迭代直至余式比除式低阶。当自变量为10，即得十进制整数除法。
当除式为一阶，则余式为常数。此时若被除式和除式根相同，则余式在该点为零，即余式为零。
递归使用此定理和代数学基本定理，可将多项式分解至一阶。
5. 级数
级数：数列的和。若项数在无穷远点的极限存在，则级数收敛至该极限值。
函数项级数：由整数到函数的映射构成函数数列，也即一数集到数列集的映射。函数数列和为函数项级数。
幂级数：通项为幂函数的级数。
阿贝尔(Abel)定理
- 若级数在一点收敛，则在过该点的以原点为圆心的圆内收敛。若发散，则在圆外发散。
证明：
圆内级数每项的模除以收敛处的模，得到公比小于一的等比数列，故绝对收敛。
因此幂级数收敛域为圆，圆周上可能收敛。
审敛法
- 幂级数收敛半径为前后项系数模之比的极限的倒数，也为系数模开根的极限的倒数。
证明：
当自变量衰减速度大于系数时收敛，反之发散。
泰勒展开定理
- 函数可在解析圆域内展开为圆心增量的幂级数。
证明：
在展开圆内取小圆包围展开点和所求点，用柯西积分公式将所求点分母展开为增量的等比级数，可证绝对收敛。
\[\begin{align*} f(z)&=\frac1{2\pi i}\oint \frac{f(\zeta)d\zeta}{\zeta-z}\\ &=\frac1{2\pi i}\oint\frac{f(\zeta)d\zeta}{(\zeta-z_0)(1-\frac{z-z_0}{\zeta-z_0})}\\ |\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}|<1\Rightarrow&=\frac1{2\pi i}\oint\sum_{n\in\mathbb N}f(\zeta)\frac{(z-z_0)^n}{(\zeta-z_0)^{n+1}}d\zeta\\ &=\sum_{n\in\mathbb N} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n\\ \end{align*}\]洛朗(Laurent)展开定理
- 函数可在解析环域内可展开为圆心增量的洛朗级数。
证明：
与泰勒展开定理同理，由柯西积分公式，展开为圆心到所求点增量和圆心到围线点增量的比的等比级数。
6. 留数
- 函数在一点的邻域内解析，其留数可由围线积分定义。根据洛朗展开定理，留数等于其洛朗级数负一次项的系数。
留数定理
- 扩充的复平面内有有限个孤立奇点，则所有孤立奇点留数和为0。
证明：
根据柯西积分定理，围线积分等于内部留数和。取一內部解析的逆向曲线可证。
可将实函定积分转化为留数计算。常以辐角或实部作为实函自变量。
留数定理可推辐角原理，用于分析零点。
7. 保形映射
- 解析等价于保形映射。
理解：
解析意味着因、自变增量比为常数，即自变量增量矢量经过固定的旋转和伸缩得到因变量的增量矢量。因此，映射前后，曲线切线在同一点的夹角固定，曲线弧段长的比在弧长为零的极限固定。
分式线性映射
分式线性映射：一阶分式。可由三点及其映射唯一确定。具有保角、保圆和保对称性。
\[\frac{z+a}{bz+c}\]证明从略。
8. 傅里叶变换
信号处理的核心，从频率角度理解和处理信号。
傅里叶变换有丰富的性质，均可由定义证明，同时又可互相印证。
定义
根据信号的矢量空间分析，三角函数属于完备正交函数集。
周期信号可由三角函数级数表示。结合欧拉公式，则有：
\[f(t)=\sum_{k\in \mathbb Z}e^{j2\pi f t}(\frac 1T \int_{-\frac T2}^{\frac T2}f(t)e^{-j2\pi kf t}dt)\]对非周期信号，将其截断并周期延拓，再令周期趋于无穷，则此信号的级数表示式：
\[\begin{align*} \lim_{T\to\infty}f((t))_T &= \lim_{T\to\infty}\sum_{k\in \mathbb Z} e^{j2\pi f t}\frac 1T \int_{-\frac T2}^{\frac T2}f(t)e^{-j2\pi kf t}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{j2\pi f t}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j2\pi f t}dt)df \end{align*}\]定义上式括号中的部分为信号的傅里叶变换，括号外为其逆变换。
定义冲激函数为函数有值区域趋于0，积分为1的弱极限，即与其他函数相乘并积分等于函数原点值。
性质
线性
- 函数线性组合的傅里叶变换等于变换的线性组合。
证明：
根据积分的线性性质易证。
对称性
- 变换的变换等于对称。
证明：
傅里叶变换把复指数搬移至零频求值，两次傅里叶变换将其搬移至相反的频率，即时域对称。
\[\mathcal F[\mathcal F[f(t)]]=\int e^{2\pi f(-t)}(\int f(t)e^{-j2\pi ft}dt)df=f(-t)\]注意中间的积分结果为常量，不影响变量代换。
共轭对称性
- 实函频谱共轭对称，虚函共轭反对称。
证明：
通过欧拉公式可证。
\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-j2\pi ft}dt=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\cos(2\pi ft) + if(t)\sin(2\pi ft)dt\]尺度变换性
- 原域对称则变换域对称，原域压缩则变换域拉伸且值压缩。
证明：
\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(at)e^{-j2\pi ft}dt=\int_{\frac {-\infty}a}^{\frac {+\infty}a}\frac 1af(at)e^{-j2\pi \frac fa at}d(at)=\frac 1{|a|}\int_{-\infty}^{+\infty}f(at)e^{-j2\pi \frac fa at}d(at)\]位移性质
- 原域位移等于变换域乘以复指数。
证明：
时域延迟则复指数逆向旋转。频移可由对称性推出。
\[\int f(t-t_0)e^{-j2\pi ft}dt=\int f(t-t_0)e^{-j2\pi f(t-t_0)}e^{-j2\pi ft_0}d(t-t_0)\]微积分性质
原域微积分对应变换域乘除。
\[\mathcal F[\frac {df(t)}{dt}]=j2\pi fF[f],\quad \mathcal F[\int_{-\infty}^tf(t)dt]=\frac {F(f)}{j2\pi f}+\frac 12F(0)\delta(f)\]证明：
微分性由逆变换式给出，积分性由阶跃函数的变换给出。
乘法性质
- 信号矢量内积等于频谱矢量内积。
证明：
利用逆变换式可证。
\[\begin{align*} \int f_1(t)f_2(t)dt&=\int f_1(t)\int F_2(f)e^{j2\pi ft}dfdt\\ &=\int(\int f_1(t)e^{-j2\pi ft}dt)^\ast F_2(f)df\\ &=\int F^\ast _1(f)F_2(f)df \end{align*}\]这说明实信号频谱内积为实数，满足交换律。
代入相同信号，即得时频域能量相等，称为帕塞瓦尔(Parseval)定理。
卷积定理
- 定义卷积为自变量和相同的函数值的积分：
即翻转平移后积分。线性系统的响应等于过去时刻激励在当前时刻响应的累和，即激励与冲激响应的卷积。
- 卷积的变换等于变换的乘积。
证明：
\[\begin{align*} f(\tau)=f_1(t)\ast f_2(t)&=\int f_1(t+\tau)f_2(-t)dt\\ &=\int F_1(f)F_2(f)e^{j2\pi f\tau}df \end{align*}\]- 定义相关为相对平移后积分：
根据柯西-施瓦茨不等式，互相关的模的平方小于等于自相关的积。当信号为实常数倍关系时，代入可知等号成立。此结论可用于相关接收分析。
多维变换
- 定义多维变换为对各维分别变换。
频域的一点对应一个该方向的复指数平面函数。
部分函数的傅里叶变换
冲激函数
- 冲激函数频谱为常数。
证明：
通过定义可证。
\[\int \delta(t)e^{-j2\pi ft}dt=1\]结合卷积定理，说明冲激响应的变换是系统频响。
结合位移性质，可得复指数函数的频谱，进而得三角函数和周期函数频谱。
矩形脉冲
- 矩形脉冲频谱为采样函数。
证明：
通过定义易证。
由此可计算狄利克雷(Dirichlet)积分：
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(x)}xdx=\pi R_\frac 1\pi(0)=\pi\]此积分也可由留数定理算出。
符号函数
- 符号函数频谱为反比例形式。
证明：
可由逆变换及狄利克雷积分证明。此式也可由指数函数取极限得到。
\[\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac 2{j2\pi ft}e^{j2\pi f}df&=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac 2{j2\pi f}[\cos(2\pi ft)+j\sin(2\pi ft)]df\\ &=\int_{\frac{-\infty}{2\pi t}}^{\frac{+\infty}{2\pi t}}\frac 1\pi\frac{\sin(2\pi ft)}{2\pi ft}d(2\pi ft)\\ &=sgn(t) \end{align*}\]阶跃函数
- 阶跃函数频谱为反比例加冲激函数。
证明：
阶跃函数可分解为符号函数和常数。符号函数频谱可由狄利克雷积分给出。
钟形脉冲
- 钟形（正态分布）信号的频谱仍为钟形
证明：
可由变量代换转为复积分，再结合积分定理转为实轴积分。其中正态分布的积分可由平方后变量代换至极坐标算出。