信号矢量空间分析笔记
基本概念
信号的矢量空间
数值集(x, y, z)可映射为三维空间中的一个点，也即一个矢量。
离散函数可视为数值序列，进而映射为N维空间中一矢量：
\[(x_1, x_2, x_3 ... x_N)\]推广可得，连续函数可映射至无限维空间中一矢量。
范数
- 矢量x的p阶范数定义为：
对维度无限大的信号矢量，可将此定义推广至积分。
1阶范数（信号作用强度）有限的连续、离散信号集合分别构成赋范空间。
内积
- 两矢量内积定义为：
满足公理：自内积正定性，共轭交换性，齐性，分配律。
对有无限维的信号矢量，可将此定义推广至积分。
柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式
- 内积模的平方小于等于自内积的乘积。
证明：
根据公理可证。
\[\langle x-\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}y,x-\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}y\rangle=\langle x,x\rangle-\frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\langle y,y\rangle}\geq 0\]信号的正交函数分解
N维矢量可分解为N个正交矢量之和，每个矢量的系数为投影值。
对于具有无限维度的信号矢量，投影值通过方均误差最小的方式定义：
\[\Delta = \int (f_1-cf_2)^2dt\]展开平方式，交换微分与积分次序，有：
\[\frac{d\Delta}{dc}=0\Rightarrow c = \frac{\int f_1f_2dt}{\int f_2^2dt}\]推论
\[\int f_1f_2dt = 0 \Leftrightarrow f_1\perp f_2\]当矢量分解的正交矢量个数小于维度时，分解存在误差。
分解后的正交矢量和等于原矢量在正交矢量张成的空间内的投影。
完备正交函数集
定义：正交函数集中的函数有相同的定义区间，两两正交，且与自身的内积均为同一常数。
定义：完备正交函数集指正交分量个数趋于无穷时，分解误差趋于0的正交函数集。
上述定义等价于：不存在与函数集任一分量正交的函数。可用反证法证明，若存在，则该函数应属于此函数集。
推论：分解前后，二阶范数的平方相等（帕萨瓦尔定理）。
推论可由二阶范数的平方差等于方均误差证明。
实例：
三角、复指数、沃尔什、多项式（勒让德、雅可比、切比雪夫等）等。
沃尔什函数
一种定义方式：
\[WAL(k, t)=\prod\limits_{r=0}^{p-1} sgn[cos(2^{r}k_r\pi t)],\quad k\in N,\quad k=\sum\limits_{r=0}^{p-1}k_r2^r\]相关
定义：相关系数=内积除以范数积。
定义：对能量有限信号，相关函数=一信号矢量与另一延时后的信号矢量的内积。对功率有限信号，相关函数=时间宽度趋于无穷时，该段时间内的能量相关函数除以时间宽度。
信号通过线性系统
谱×系统频率响应的模的平方。
匹配滤波器
接收时脉冲波形已知，关心符号的有无。希望设计一线性时不变系统，当输入所需信号时，抽样判决值最大，输入正交信号时，抽判值为零。
信号过系统，输出等于信号与冲激响应卷积，频谱为信号频谱与系统频响相乘。设抽判时刻为0，则抽样值等于输出频谱的积分，也就等于信号频谱和系统频响矢量的内积。给定系统能量，即固定频谱矢量长度，则两矢量平行时内积最大。因此，系统频谱为信号频谱的共轭。由于实信号频谱共轭对称，且频域对称等于时域对称，故系统冲激响应与信号关于零时刻对称。若同时向右平移抽判时刻和冲激响应，不改变上述结论。
\[\begin{align*} f(t)\ast h(t)|_{t=t_0}&=\int F(f)H(f)e^{j2\pi ft_0}df=\langle \vec F, \vec He^{j2\pi ft_0}\rangle\\ \Rightarrow H(f)e^{j2\pi ft_0}&=F^\ast(f)=F(-f)\\ \Rightarrow h(t)&=f(-(t-t_0)) \end{align*}\]测不准原理
冲激响应和幅频特性曲线的陡变程度之积存在上限。